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带你彻底理解RSA算法原理

发布于 4天前 / 7 次围观 / 0 条评论 / 技术学习 / Edwiin

带你彻底理解RSA算法原理

1. 什么是RSA

RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法,也是号称地球上最安全加密算法。在了解RSA算法之前,先熟悉下几个术语 根据密钥的使用方法,可以将密码分为对称密码和公钥密码 对称密码加密解密使用同一种密钥的方式

公钥密码加密解密使用不同的密码的方式,因此公钥密码通常也称为非对称密码

2. RSA加密

RSA加密过程可以使用一个通式来表达

密文=明文EmodN

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单?对,就是这么简单。 从通式可知,只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了,所以说E、N是RSA加密的密钥,也就是说E和N的组合就是公钥,我们用(E,N)来表示公钥

公钥=(E,N)

不过E和N不并不是随便什么数都可以的,它们都是经过严格的数学计算得出的,关于E和N拥有什么样的要求及其特后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密(Encryption)的首字母,N是数字(Number)的首字母

3. RSA解密

RSA解密同样可以使用一个通式来表达

明文=密文DmodN

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文,这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了,所以D和N的组合就是私钥

私钥=(D,N)

从上述可以看出RSA加密方式和解密方式是相同的,加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N” 此处D是解密(Decryption)的首字母;N是数字(Number)的首字母。

公钥 (E,N) 私钥 (D,N) 密钥对 (E,D,N) 加密 密文=明文EmodN密文=明文EmodN 解密 明文=密文DmodN

4. 生成密钥对

既然公钥是(E,N),私钥是(D,N)所以密钥对即为(E,D,N)但密钥对是怎样生成的?步骤如下:

  1. 求N
  2. 求L(L为中间过程的中间数)
  3. 求E
  4. 求D

4.1 求N

准备两个质数p,q。这两个数不能太小,太小则会容易破解,将p乘以q就是N

N=p∗q

4.2 求L

L 是 p-1 和 q-1的最小公倍数,可用如下表达式表示

L=(p-1,q-1)

4.3 求E

E必须满足两个条件:E是一个比1大比L小的数,E和L的最大公约数为1 用gcd(X,Y)来表示X,Y的最大公约数则E条件如下:

1 < E < L
gcd(E,L)=1

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

4.4 求D

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系

1 < D < L
E*D mod L = 1

只要D满足上述2个条件,则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。 简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。 现在私钥自然也已经生成了,密钥对也就自然生成了。 小结下:

求N N= p * q ;p,q为质数 求L L=lcm(p-1,q-1) ;L为p-1、q-1的最小公倍数 求E 1 < E < L,gcd(E,L)=1;E,L最大公约数为1(E和L互质) 求D 1 < D < L,E*D mod L = 1

5 实践下吧

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成,及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

5.1 求N 我们准备两个很小对质数, p = 17 q = 19 N = p * q = 323

5.2 求L L = lcm(p-1, q-1)= lcm(16,18) = 144 144为16和18对最小公倍数

5.3 求E 求E必须要满足2个条件:1 < E < L ,gcd(E,L)=1 即1 < E < 144,gcd(E,144) = 1 E和144互为质数,5显然满足上述2个条件 故E = 5

此时公钥=(E,N)= (5,323)

5.4 求D 求D也必须满足2个条件:1 < D < L,E*D mod L = 1 即1 < D < 144,5 * D mod 144 = 1 显然当D= 29 时满足上述两个条件 1 < 29 < 144 5*29 mod 144 = 145 mod 144 = 1 此时私钥=(D,N)=(29,323)

5.5 加密 准备的明文必须时小于N的数,因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N 假设明文 = 123 则 密文=明文EmodN=1235mod323=225密文=明文EmodN=1235mod323=225 5.6 解密 明文=密文DmodN=22529mod323=123明文=密文DmodN=22529mod323=123 解密后的明文为123。

本文转自:https://msd.misuland.com/pd/3053059875815818308

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